순열과 조합, 한 줄 구분법
뽑은 결과에서 순서를 바꾸면 다른 경우가 되는가? 그렇다면 순열, 아니라면 조합입니다. 반장·부반장 뽑기는 (철수, 영희)와 (영희, 철수)가 다르니 순열 nPr. 청소당번 2명 뽑기는 누가 먼저든 같은 팀이니 조합 nCr. 조합은 순열을 r!(뽑은 것끼리의 배열 수)로 나눈 값이라 항상 순열보다 작거나 같습니다.
중복 허용 여부
같은 것을 다시 뽑을 수 있으면 "중복"이 붙습니다. 숫자 4자리 비밀번호는 0~9를 중복해서 순서 있게 쓰니 중복순열 10⁴ = 10,000가지. 3가지 맛 아이스크림을 2스쿱 담기(같은 맛 2번 가능, 순서 무관)는 중복조합 ₃H₂ = ₄C₂ = 6가지입니다. 중복조합 nHr은 (n+r−1)Cr로 계산합니다.
실생활 예시
- 로또: 45개에서 6개, 순서 무관 → 45C6 = 8,145,060
- 5명을 한 줄로 세우기: 5! = 120
- 10명 중 회장·부회장·총무: 역할이 다르니 순열 10P3 = 720
- 10명 중 대의원 3명: 역할 구분 없으니 조합 10C3 = 120
- 동전 10번 던져 앞면 3번인 경우: 어느 회차가 앞면인지 고르기 → 10C3 = 120
큰 수 읽기
계승과 순열은 무섭게 빨리 커집니다. 20! ≈ 2.4 × 10¹⁸로 이미 자바스크립트가 정확히 다루는 정수 범위(약 9 × 10¹⁵)를 넘어서, 이 계산기는 큰 값을 지수 표기(가수 × 10ⁿ)로 보여줍니다. 지수 표기의 값은 근사값이고, 정확한 자릿수 계산이 필요하면 전용 수학 프로그램을 쓰세요.
자주 묻는 질문
nC0이나 0!은 왜 1인가요?
"아무것도 안 뽑는 방법"이 정확히 1가지 있다고 정의합니다. 0! = 1로 약속해야 nCr = n!/(r!(n−r)!) 공식이 r=0, r=n에서도 성립합니다.
일부만 같은 것이 섞인 배열(같은 구슬 포함)은요?
같은 것이 있는 순열은 n!을 같은 것끼리의 계승으로 나눕니다. 예: AABBC의 배열 수 = 5!/(2!×2!) = 30. 이 계산기의 기본 기능 밖이라 계승 값을 이용해 직접 나눠 계산하세요.
로또를 여러 게임 사면 확률이 그만큼 오르나요?
서로 다른 조합으로 10게임을 사면 1등 확률은 정확히 10/8,145,060으로 10배가 됩니다. 다만 여전히 약 81만분의 1이고, 기댓값은 구입액보다 항상 작습니다(기댓값 계산기 참고).