기댓값 = Σ(확률 × 값)
각 결과의 값에 그 확률을 곱해 전부 더한 것이 기댓값 E(X)입니다. 1,000원 내고 0.1% 확률로 10만 원을 받는 게임이라면 E = 0.001 × 100,000 = 100원. 참가비 1,000원을 빼면 시행당 평균 −900원이므로, 오래 반복할수록 거의 확실히 손해를 봅니다. 분산은 E(X²) − E(X)²로 구하며, 결과가 기댓값 주변에서 얼마나 요동치는지를 나타냅니다.
복권·보험·게임에 적용하면
- 로또: 판매액의 약 50%만 당첨금으로 돌아가도록 설계되어, 1,000원짜리 1게임의 기댓값은 약 500원 수준입니다. 사는 순간 평균적으로 절반을 잃는 구조입니다.
- 보험: 보험료에는 보험금 기댓값에 사업비가 얹혀 있어 가입자의 금전적 기댓값은 음수입니다. 그런데도 보험이 합리적인 이유는, 감당 못 할 큰 손실(분산)을 돈 내고 없애는 거래이기 때문입니다.
- 카지노: 룰렛 유럽식의 기댓값은 베팅액의 약 −2.7%. 어떤 베팅 전략을 써도 기댓값은 바뀌지 않습니다.
기댓값의 함정: 분산을 무시하지 마세요
기댓값이 +라고 무조건 좋은 선택이 아닙니다. "50% 확률로 전 재산 3배, 50% 확률로 전부 잃음"은 기댓값이 +50%지만 두 번 연속하면 절반 확률로 파산합니다. 반복 불가능한 큰 베팅에서는 기댓값보다 최악의 경우를 감당할 수 있는지가 먼저입니다. 반대로 기댓값이 약간 음수라도 큰 위험을 제거해 준다면(보험) 합리적일 수 있습니다.
입력 팁
값 칸에 "받는 상금 총액"을 넣고 참가비를 따로 넣으면 순기댓값을 같이 보여줍니다. 처음부터 참가비를 뺀 순손익(꽝이면 −1000)을 값에 넣어도 됩니다 — 둘 중 한 방식만 쓰세요, 겹치면 참가비가 이중으로 빠집니다. 확률은 0.05처럼 소수로 넣는 것이 기본이고 5%처럼 %를 붙여도 인식합니다.
자주 묻는 질문
확률 합이 1이 안 되는데 계산해도 되나요?
빠진 확률이 전부 "값 0인 꽝"이라면 기댓값은 정확합니다. 예: "당첨 0.001 10000" 한 줄만 넣어도 나머지 99.9%가 0원이면 기댓값 10원이 맞습니다. 다만 분산은 꽝 줄을 넣은 것과 같게 계산되는지 확인하세요(값 0이면 동일합니다).
기댓값이 양수인 게임은 무조건 해야 하나요?
반복할 수 있고 한 번의 손실을 감당할 수 있을 때만 그렇습니다. 한 번에 파산할 수 있는 크기의 베팅은 기댓값이 양수여도 피하는 게 합리적입니다(켈리 기준이 이 문제를 다룹니다).
로또 이월로 1등 당첨금이 커지면 기댓값이 양수가 되나요?
이론상 당첨금이 아주 커지면 가능하지만, 당첨자가 여러 명이면 나눠 갖는 점과 세금(3억 초과분 33%)까지 반영하면 현실적으로 양수가 되는 일은 거의 없습니다.