공식
평균: 신뢰구간 = 표본평균 ± 임계값 × s/√n. 임계값은 표본이 작으면(n < 30) 자유도 n−1의 t분포 값을, 크면 정규분포 값(95% → 1.96, 99% → 2.576)을 씁니다. t 임계값은 표본이 작을수록 커져서(n=5면 t=2.776) 구간이 넓어지는데, 작은 표본의 표준편차 추정이 불안정한 것을 반영한 것입니다. 비율: p̂ ± z × √(p̂(1−p̂)/n)입니다.
"95% 확률로 이 구간에 있다"는 틀린 말인가?
미묘하지만 틀립니다. 모평균은 우리가 모를 뿐 정해진 하나의 값이고, 이번에 계산한 구간도 정해진 구간입니다. 둘의 관계는 "들어 있거나, 아니거나"이지 확률이 아닙니다. 정확한 해석은 "같은 방법으로 표본을 뽑아 구간을 만드는 일을 반복하면, 그 구간들의 95%가 모평균을 포함한다"입니다. 신뢰는 이번 구간이 아니라 "구간을 만드는 절차"에 대한 것입니다. 일상 보고서에서 "95% 신뢰수준에서 ~로 추정된다"라고 쓰는 건 관례로 통용되지만, 정확히 뭘 뜻하는지는 알고 쓰는 게 좋습니다.
구간을 좁히는 방법
구간 폭은 임계값 × s/√n에 비례합니다. 좁히려면 ① 표본을 늘린다(√n이라 4배 모아야 절반), ② 신뢰수준을 낮춘다(99% → 95%면 좁아지지만 그만큼 놓칠 위험 증가), ③ 측정 자체의 편차(s)를 줄인다. 신뢰수준을 올리면 구간이 넓어지는 건 당연한 대가입니다 — "더 자신 있게 말하려면 더 두루뭉술하게 말해야" 하는 셈입니다.
예제
남학생 25명의 키 표본: 평균 172.5cm, 표본 표준편차 6cm. 자유도 24의 t 임계값(95%)은 2.064이므로 오차범위 = 2.064 × 6/√25 = 2.48cm. 신뢰구간은 170.0 ~ 175.0cm. n이 100이면 같은 s라도 1.96 × 0.6 = ±1.18cm로 좁아집니다.
자주 묻는 질문
표준편차는 n으로 나눈 것과 n−1로 나눈 것 중 뭘 넣나요?
표본으로 모평균을 추정하는 상황이므로 n−1로 나눈 표본 표준편차(s)를 넣는 게 원칙입니다. 표본이 크면 둘의 차이는 미미합니다.
신뢰구간과 오차범위는 같은 건가요?
오차범위는 구간의 반폭(±값)이고, 신뢰구간은 그것을 중심값 양쪽에 붙인 구간 전체입니다. "±3.1%"와 "41.9~48.1%"는 같은 정보의 두 표현입니다.
두 그룹의 신뢰구간이 겹치면 차이가 없는 건가요?
꼭 그렇지는 않습니다. 구간이 살짝 겹쳐도 두 평균의 차이는 유의할 수 있습니다. 겹침 여부는 대략적 판단일 뿐이고, 정확히는 차이 자체의 신뢰구간이나 검정(A/B 테스트 계산기 참고)을 봐야 합니다.